package exercise;

public class Exercise_006 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] array = { 64, 3, 45, 291, 178 };

        int min = array[0];
        for(int i = 1; i < array.length; i++) {
            if(min > array[i]) {
                min = array[i];
            }
        }

        System.out.println(min);
    }
}

変数minに暫定最小値を代入し、for文で一つ一つの要素と大小を比較していきます。
もし要素の方が小さければ暫定最小値が入れ替わります。

package exercise;

import java.util.Arrays;

public class Exercise_006 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] array = { 64, 3, 45, 291, 178 };

        Arrays.sort(array);

        System.out.println(array[0]);
    }
}

utilパッケージにあるArraysクラスのsortメソッドで要素をソートしました。
要素が昇順に並び替わるのでarray[0]に一番小さい値がきます。
この方法だと元の順番が維持できなくなってしまうので注意です。